Polinômios ( Resumão)!!!

Polinômios: A-) Definição: Polinômios ( http://www.brasilescola.com/matematica/polinomio.htm )são todas as Expressões Algébricas racionais inteiras compostas de um ou mais termos. Polinômio é, pois, a soma algébrica de Monômios, cada um dos quais chamado de Termo. De acordo com a quantidade de termos Não - semelhantes que possuem, os Polinômios recebem nomes especiais. Desta maneira, um Polinômio será chamado de: Monômio: → se ele for composto de 1 termo. Ex.: 4xy2, 3abcd Binômio: → se ele for composto de 2 termos. Ex.: a + b, x2 + 5 Trinômio: → se ele for composto de 3 termos. Ex.: x2 - 5x + 6, a2 - 2ab + b2 Observações: Os Polinômios com mais de três termos não recebem nomes especiais. O Polinômio em que todos os coeficientes são iguais a Zero é chamado de Polinômio nulo. Ex.: 04x4 + 0x³ + 0x² + 0x + 0 B-) Grau de um Polinômio: O grau de um Polinômio não – nulo é dado pelo seu termo de maior grau. x4y² → Termo do 6º grau x4y² + xy6 - x³yz xy6 → Termo do 7º grau x3yz → Termo do 5º grau O termo de maior grau é o 2º termo, logo, o Polinômio x4y² + xy6 - x³yz é do 7ºgrau. Obs.: O grau de um Polinômio não – nulo também pode ser dado em relação a uma de suas variáveis. Neste caso, o maior expoente da variável considerada indicará o grau do Polinômio. Ex.: 3x²y³ + 6xy + 4y5 é { do 2º grau em relação a x } e { do 5º grau em relação a y } Ex.: axy2 + a4x5 + xy3 é { do 4º grau em relação a a } { do 5º grau em relação a x } e { do 3º grau em relação a y } Obs.: Não se define grau para Polinômio Nulo. Ex.: 0x3 + 0x2 + 0x + 0 = 0 C-) Polinômio com uma só variável: É aquele que apresenta, em cada um de seus termos, uma única variável. É necessário que nos Polinômios com uma só variável, nós ordenemos estes Polinômios, segundo os expoentes decrescentes dessa variável. Ex.: 3x + x³ - 4 + 2x² Ordenamos assim: x³ + 2x² + 3x - 4 1 – 3x4 + 4x Ordenamos assim: -3x4 + 0x³ + 0x² + 4x + 1 Obs.: Foi notado que em todos eles faltam uma ou mais potência. O coeficiente do termo que falta será sempre o “ ZERO ”. D-) Classificação dos Polinômios com uma só variável: 1-) Polinômio incompleto: É aquele que falta uma ou mais potência da variável. Ex.: 2x³ + 4x - 5 → Falta o termo de grau 2 ( x² ) a4 - 3a + 2 → Faltam os termos de grau 3 ( a³ ) e de grau 2 ( a² ) 2-) Polinômio Completo ou forma geral: É aquele que possui todas as potências decrescentes da variável. Ex.: 2x³ + 0x² + 4x - 5 a4 - 0a³ + 0a² - 3a + 2 Cuidado: No Polinômio y² - y falta o termo de grau Zero, também chamado de termo independente. y² - y deve ficar assim: → y² - y + 0 E-) Operações com Polinômios: 1-) Adição de Polinômios. A Adição de dois ou mais Polinômios é feita escrevendo-se um Polinômio após o outro, e conservando-se o sinal de cada termo. Em seguida, fazemos a redução dos termos semelhantes, caso existam. Ex.: a-) ( 4x² - 3ax + 12a² ) + ( 6x² + 5ax - 4a² ) = = 4x² - 3ax + 12a² + 6x² + 5ax - 4a² = → Eliminamos os ( ). = 4x2 + 6x2 - 3ax + 5ax + 12a2 - 4a2 = → Agrupamos os termos semelhantes. = 10x2 + 2ax + 8a2 → Reduzimos os termos semelhantes. b-) Dados os Polinômios: A = x² + 2xy + y² B = x² - y² C = 4xy + 6y² Determine o valor de A + B + C = = ( x² + 2xy + y² ) + (x² - y² ) + ( 4xy + 6y2 ) = = x² + 2xy + y² + x² - y² + 4xy + 6y2 = → Eliminamos os ( ). = x2 + x2 + 2xy + 4xy + y2 - y2 + 6y2 = → Agrupamos os termos semelhantes. = 2x2 + 6xy + 6y2 → Reduzimos os termos semelhantes. A soma de dois ou mais Polinômios também pode ser obtida através de um D.P. (Dispositivo Prático), que consiste em escrever os Polinômios um abaixo do outro, colocando-se os termos semelhantes em uma mesma coluna para, em seguida, efetuarmos sua Adição Algébrica. Veja como ficam os 2 exemplos anteriores resolvidos através do processo D.P. a-) ( 4x² - 3ax + 12a² ) + ( 6x² + 5ax - 4a² ) 4x² - 3ax + 12a² 6x² + 5ax - 4a² 10x2 + 2ax + 8a2 b-) A → x2 + 2xy + y2 B → x2 - y2 C → + 4xy + 6y2 2x2 + 6xy + 6y2 Dados os Polinômios: A= x² + 2xy + y² B= x² - y² C= 4xy + 6y² Observações.: Polinômios Opostos ou Simétricos: Foram dados os seguintes Polinômios: A = x² - 7x + 12 e B = - x² + 7x - 12 O que ocorrerá ao efetuarmos a adição entre eles? x² - 7x + 12 -x² + 7x - 12 0x2 + 0x + 0 - Obtivemos um Polinômio Nulo, pois todos os seus coeficientes são iguais a Zero. - Polinômios como estes, que adicionados resultam no Polinômio Nulo, são chamados de Polinômios Opostos ou Simétricos. - Notamos que, para obtermos o oposto de um certo Polinômio não - nulo, basta que troquemos os sinais de todos ou seus termos. Ex.: O oposto de: 4x + 3y - 2xy é → -4x - 3y + 2xy 2-) Subtração de Polinômios: A subtração de 2 polinômios é feita adicionando- se o 1º polinômio ao oposto do 2º. Ex.: a-) ( 5x² - 3x + 12 ) - ( 7x² - 4x + 15 ) = = 5x² - 3x + 12 + ( -7x² + 4x - 15 ) = = 5x² - 3x + 12 - 7x² + 4x - 15 = → Eliminamos os ( ). = 5x2 - 7x2 - 3x + 4x + 12 - 5 = → Agrupamos os termos semelhantes. = -2x2 + x - 3 Utilizando o D.P. 5x² - 3x + 12 -7x² + 4x - 15 -2x2 + x - 3 → Notamos que os sinais de todos os termos foram trocados. b-) Dados os Polinômios: A = x² - 14x + 9 B = x³ - 7x - 15 C = 5x³ - 15x² + 8x Calcule: A + B - C A → x2 - 14x + 9 B → x3 - 7x - 15 -C → - 5x3 + 15x2 - 8x_______ A + B - C → -4x3 + 16x2 - 29x - 6 Diferença de Polinômios: Denominamos Diferença de 2 Polinômios ao Polinômio, que obtemos somando o 1º com o oposto do 2º. Qual é o Polinômio que adicionado a B = 2x + 3y + 5 dá como resultado o Polinômio A = 10x + 9y + 8 ? Precisamos obter um Polinômio C que torne verdadeiro C + B = A Este Polinômio C é denominado de Diferença entre A e B, e podemos indicá-lo C = A - B Conferimos que, somando C com B, vamos obter A. A diferença pois, de 2 Polinômios é o Polinômio que, adicionado ao 2º, dá como resultado o 1º. Então: C = A - B C = ( 10x + 9y + 8 ) - ( 2x + 3y + 5 ) C = 10x + 9y + 8 - 2x - 3y - 5 → Eliminamos os ( ). C = 10x - 2x + 9y - 3y + 8 - 5 → Agrupamos os termos semelhantes. C = 8x + 6y + 3 Conferimos que, somando C com B, vamos obter A. A diferença pois, de 2 Polinômios é o Polinômio que, adicionado ao 2º, dá como resultado o 1º. Ex.: Calcule A - B sabendo-se que: A = 3x² + 4x -1 e B= x² - 7x + 8 A - B = ( 3x² + 4x - 1 ) - ( x2 - 7x + 8 ) A - B = 3x² + 4x - 1 - x2 + 7x - 8 → Eliminamos os ( ). A - B = 3x2 - x2 + 4x + 7x - 1 - 8 → Agrupamos os termos semelhantes. A - B = 2x2 + 11x - 9 Usando o D.P., temos: A → 3x2 + 4x - 1 -B → -x2 + 7x - 8 A - B → 2x2 + 11x - 9 → c. q. d. Observamos que foram trocados todos os sinais do termo B. 1-) Multiplicação de Polinômios: Para multiplicarmos 2 Polinômios, multiplicamos cada termo de um deles por todos os termos do outro, e adicionamos os resultados. O Polinômio obtido é denominado: produto dos Polinômios dados. 1º Caso: Multiplicação de um Monômio por um Polinômio: Para que possamos multiplicar um Monômio por um Polinômio, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica, ou seja, multiplicamos cada termo do Polinômio pelo Monômio e somamos, algebricamente os resultados obtidos. a-) 3x . ( 4x² + 7x - 15 ) = 12x3 + 21x2 - 45x → Aplicamos a propriedade distributiva. b-) ( - 5x² y ) . ( ax + 2by - 6c ) = - 5ax3y - 10bx2y2 + 30cx2y → Aplicamos a propriedade distributiva. Obs.: O produto de um Monômio por um Polinômio também pode ser obtido por meio do D.P. ( Dispositivo Prático ). Vejamos como ficam resolvidos os 2 exercícios acima. Ex.: a-) 3x . ( 4x² + 7x - 15 ) = 4x² + 7x - 15 . 3x 12x3 + 21x2 - 45x b-) ( -5x²y ) . ( ax + 2by - 6c ) = ax + 2by - 6c . - 5x2y_____ - 5ax3y - 10bx2y2 + 30cx2y 2º Caso: Multiplicação de um Polinômio por um Polinômio: Para que possamos multiplicar um Polinômio por outro, multiplicamos cada termo de um deles por todos os termos do outro, somando, algebricamente, os produtos obtidos e reduzindo, em seguida, os termos semelhantes, desde que sejam possíveis. Ex.: a-) ( 2a + 6 ) . ( 5a - 3 ) = ( 2a + 6) . ( 5a - 3 ) = = 10a2 - 6a + 30a - 18 = = 10a2 + 24a - 18 ou apliquemos o D. P. 2a + 6 5a - 3 10a2 + 30a - 6a - 18 10a2 + 24a - 18 → c. q. d. Resolva pela propriedade distributiva ou aplique o D.P. b-) ( 3x + 4 ) . ( 5x² - 12x - 6 ) = ( 3x + 4 ) . ( 5x2 - 12x - 6 ) = = 15x3 - 36x2 - 18x + 20x2 - 48x - 24 = = 15x3 - 36x2 + 20x2 - 18x - 48x - 24 = = 15x3 - 16x2 - 66x - 24 ou apliquemos o D. P. D.P. 5x2 - 12x - 6 . 3x + 4_______ 15x3 - 36x2 - 18x + 20x2 - 48x - 24____ 15x3 - 16x2 - 66x - 24 → c. q. d. 3º Caso: Multiplicação de três ou mais Polinômios: Para que possamos multiplicar 3 ou + Polinômios, devemos multiplicar os “ 2 ’’ primeiros, e depois multiplicarmos o resultado pelo 3º, e assim, sucessivamente. Ex.: ( x + 2 ) . ( x + 1 ) . ( 2x - 1 ) = ( x + 2 ) . ( x + 1 ) . ( 2x - 1 ) = = ( x2 + x + 2x + 2 ) . ( 2x - 1 ) = = ( x2 + 3x + 2 ) . ( 2x - 1 ) = = 2x3 + 6x2 + 4x - x2 - 3x - 2 = = 2x3 + 5x2 + x - 2 → ou também podemos usar o D.P. ( 1º com o 2º ) ( o resultado com o 3º ) x + 2 x2 + 3x + 2 x + 1 . 2x - 1 x2 + 2x 2x3 + 6x2 + 4x + x + 2 - x2 - 3x - 2 x2 + 3x + 2 2x3 + 5x2 + x - 2 → c. q. d. Mais explicações: http://www.algosobre.com.br/matematica/polinomios-e-equacoes-algebricas.html 1-) DIVISÃO DE POLINÔMIOS: Para que realizemos a divisão de Polinômios basta que dividamos os seus coeficientes entre si, e as partes literais também. 1º Caso: Divisão de Monômio por Monômio: Ex.: a-) ( 16x² ) : 4 = 16x2 = 4x2 4 b-) 9x³ : 3x = 9x3 = 9x3 : 3x = 3x3 : x = 3x3 - 1 = 3x2 3x c-) -12x4y² : 8x²y² = -12x4y2 = -3x2 8x2y2 2 2º Caso: Divisão de um Polinômio por um Monômio: Para que dividamos um Polinômio por um Monômio não – nulo, é necessário, que dividamos cada termo do Polinômio pelo Monômio e, em seguida, somarmos, algebricamente, os quocientes obtidos. Ex.: a-) ( 15x³ - 18x² + 6x ) : 3x = = ( 15x³ - 18x² + 6x ) : 3x = = 5x2 - 6x + 2 : 3x b-) ( 25a³x² + 18a4x³ - 15a²x ) : ( 5ax ) = Vamos 1º, colocar na ordem decrescente da variável a. ( 18a4x3 + 25a3x2 - 15a2x ) : ( 5ax ) = = 18a3x2 + 5a2x - 3a 3º Caso: Divisão de Polinômios por Polinômios : Antes de iniciarmos a divisão de um Polinômio por outro, relembremos a propriedade fundamental da divisão: ou Dividendo = Quociente . Divisor + Resto Obs .: Não devemos esquecer de que o resto é sempre um № não negativo e menor que o divisor. Ex.: 25 | 3 ou 25 = 8 . 3 + 1 1 8 25 = 24 + 1 25 = 25 ( V ) Ex.: a-) ( 6x³ - 5 + 34x - 24x² ) : ( 2x - 4 ) = Em 1º lugar, devemos ordenar o Polinômio que está incompleto segundo as potências decrescentes da variável x, colocando-o na Fórmula Geral: 6x3 - 24x2 + 34x - 5 : ( 2x - 4 ) = 6x3 - 24x2 + 34x - 5 | 2x - 4 -6x3 + 12x2___________ 3x2 - 6x + 5 0 - 12x2 + 34x - 5 + 12x2 - 24x_____ 0 + 10x - 5 - 10x + 20 0 + 15 → ( grau do resto é menor que o grau do divisor ) Logo: Q = 3x2 - 6x + 5 R = 15 Concluíndo.: Dividir um Polinômio por outro Polinômio significa encontrarmos: o Quociente → Q e o Resto → R b-) ( 12x5 - 30 - 35x³ + 25x + 18x² ) : ( 3x² - 5 ) = Neste exemplo: tanto o Dividendo quanto o Divisor são Polinômios Incompletos. Para que efetuemos esta Divisão, temos que colocá-los na Fórmula Geral, ou seja, Dividendo sendo um Polinômio completo e o Divisor também sendo um Polinômio completo. ( 12x5 - 30 - 35x³ + 25x + 18x² ) : ( 3x² - 5 ) = Dividendo na Fórmula Geral = 12x5 + 0x4 - 35x3 + 18x2 + 25x - 30 → Ordem decrescente da variável x5. Divisor na Fórmula Geral = 3x2 + 0x - 5 → Ordem decrescente da variável x2. 12x5 + 0x4 - 35x3 + 18x2 + 25x - 30 | 3x2 + 0x - 5 -12x5 - 0x4 + 20x3 4x3 - 5x + 6 0 0 - 15x3 + 18x2 + 25x - 30 + 15x3 + 0x2 - 25x______ 0 + 18x2 + 0x - 30 - 18x2 + 0x + 30 0 Logo: Q = 4x³ - 5x + 6 R = 0 Neste exemplo, o Resto é Nulo. Então, concluímos que o Quociente é exato e que a Divisão também é exata. O Polinômio Dividendo é divisível pelo Polinômio Divisor. Mais exemplos: http://www.brasilescola.com/matematica/divisao-de-polinomios.htm Exercícios Complementares sobre Polinômios: 1º - Sobre Multiplicações de Polinômios resolva: ( x - 3 ) . ( x + 3 ) . ( x2 + 9 ) = 2º - Calcule: ( 3x - 1 / 2 ) . ( x2 + 4 ) = 3º - Calcule A . B utilizando o D.P. ( Dispositivo Prático ) sabendo-se que: A = 3x - 1 e B = x2 + 4x + 8 4º - Resolva a seguinte expressão abaixo: 2 / 3 . ( x - 1 / 4 ) - 3 / 5 . ( x / 2 - 1 ) + x - 1 = 5º - Calcule os seguintes produtos: ( 2x - 3 ) . ( x2 - 3x + 5 ) = 6º - Resolva a seguinte expressão algébrica: ( x - 2 ) . ( 16 + 8x + 4x2 + 2x3 + x4 ) + 32 = 7º - Sobre Divisão de Polinômios, calcule: ( 9x6 - 12x5 + 18x3 - x2 ) : ( 3x2 ) = 8º - Dê o quociente e o resto da divisão, A : B sabendo-se que: A = 8x2 + 6x + 5 e B = 2x + 1 9º - Qual é o Polinômio que, dividido por B = 3x2 + 4x - 1, dá como quociente Q = x + 1 e como resto R = - 3x + 1 ? 10º - Quais dos Polinômios abaixo são divisíveis por 5x + 1 ? a-) 15x2 - 17x - 4 b-) 5x3 - 4x2 + 4x + 1 c-) 125x4 - 100x3 - 30x2 + 4x + 1 Gabarito dos Exercícios Complementares: 1º-) x4 - 81 ou ( x - 3 ) . ( x + 3 ) . ( x2 + 9 ) 2º-) 3x3 - 1 / 2x2 + 12x - 2 3º-) 3x3 + 11x2 + 20x - 8 4º-) 41x / 30 - 17 / 30 5º-) 2x3 - 9x2 + 19x - 15 6º-) x5 7º-) 3x4 - 4x3 + 6x - 1 / 3 8º-) Q = 4x + 1 e R = 4 9º-) 3x3 + 7x2 10º-) Resp.: Todos eles. a-) Q = 3x - 4 e R = Zero b-) Q = x2 - x + 1 e R = Zero c-) Q = 25x3 - 25x2 - x + 1 e R = Zero