Planilha do exemplo 2 de juros.

Exemplo 2 de Juros

Exemplo 2 Vamos construir uma planilha especificando passo a passo a aplicação de um capital durante o período estabelecido inicialmente. Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros mensais de 3% ao mês durante 12 meses. Determine o valor dos juros produzidos e do montante final da aplicação. O montante final foi equivalente a R$ 6.800,00, e os juros produzidos foram iguais a R$ 1.800,00.

Juros ( Introdução ).

Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples. Mas vamos entender como funcionava a capitalização no sistema de juros simples. No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida. A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte: J = C * i * t, onde J = juros C = capital i = taxa de juros t = tempo de aplicação (mês, bimestre, trimestre, semestre, ano...) M = C + J M = montante final C = capital J = juros Exemplo 1 Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2%, durante 10 meses? Capital: 1200 i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.) t = 10 meses J = C * i * t J = 1200 * 0,02 * 10 J = 240 M = C + j M = 1200 + 240 M = 1440 O montante produzido será de R$ 1.440,00.

Mudança de Rumo!!!

Olá alunos visitantes do nosso blog, A partir de hoje, o nosso blog estará publicando novos assuntos de matemática, pois a etapa de operações com Polinômios acabou e esperamos neste assunto termos ajudados a todos, nunca deixem de nos visitar, pois somos também seu 2º professor de Matemática, rsrs :) Agradecimento Especial ao Professor Luiz Carlos Pacheco.

Polinômios ( Resumão)!!!

Polinômios: A-) Definição: Polinômios ( http://www.brasilescola.com/matematica/polinomio.htm )são todas as Expressões Algébricas racionais inteiras compostas de um ou mais termos. Polinômio é, pois, a soma algébrica de Monômios, cada um dos quais chamado de Termo. De acordo com a quantidade de termos Não - semelhantes que possuem, os Polinômios recebem nomes especiais. Desta maneira, um Polinômio será chamado de: Monômio: → se ele for composto de 1 termo. Ex.: 4xy2, 3abcd Binômio: → se ele for composto de 2 termos. Ex.: a + b, x2 + 5 Trinômio: → se ele for composto de 3 termos. Ex.: x2 - 5x + 6, a2 - 2ab + b2 Observações: Os Polinômios com mais de três termos não recebem nomes especiais. O Polinômio em que todos os coeficientes são iguais a Zero é chamado de Polinômio nulo. Ex.: 04x4 + 0x³ + 0x² + 0x + 0 B-) Grau de um Polinômio: O grau de um Polinômio não – nulo é dado pelo seu termo de maior grau. x4y² → Termo do 6º grau x4y² + xy6 - x³yz xy6 → Termo do 7º grau x3yz → Termo do 5º grau O termo de maior grau é o 2º termo, logo, o Polinômio x4y² + xy6 - x³yz é do 7ºgrau. Obs.: O grau de um Polinômio não – nulo também pode ser dado em relação a uma de suas variáveis. Neste caso, o maior expoente da variável considerada indicará o grau do Polinômio. Ex.: 3x²y³ + 6xy + 4y5 é { do 2º grau em relação a x } e { do 5º grau em relação a y } Ex.: axy2 + a4x5 + xy3 é { do 4º grau em relação a a } { do 5º grau em relação a x } e { do 3º grau em relação a y } Obs.: Não se define grau para Polinômio Nulo. Ex.: 0x3 + 0x2 + 0x + 0 = 0 C-) Polinômio com uma só variável: É aquele que apresenta, em cada um de seus termos, uma única variável. É necessário que nos Polinômios com uma só variável, nós ordenemos estes Polinômios, segundo os expoentes decrescentes dessa variável. Ex.: 3x + x³ - 4 + 2x² Ordenamos assim: x³ + 2x² + 3x - 4 1 – 3x4 + 4x Ordenamos assim: -3x4 + 0x³ + 0x² + 4x + 1 Obs.: Foi notado que em todos eles faltam uma ou mais potência. O coeficiente do termo que falta será sempre o “ ZERO ”. D-) Classificação dos Polinômios com uma só variável: 1-) Polinômio incompleto: É aquele que falta uma ou mais potência da variável. Ex.: 2x³ + 4x - 5 → Falta o termo de grau 2 ( x² ) a4 - 3a + 2 → Faltam os termos de grau 3 ( a³ ) e de grau 2 ( a² ) 2-) Polinômio Completo ou forma geral: É aquele que possui todas as potências decrescentes da variável. Ex.: 2x³ + 0x² + 4x - 5 a4 - 0a³ + 0a² - 3a + 2 Cuidado: No Polinômio y² - y falta o termo de grau Zero, também chamado de termo independente. y² - y deve ficar assim: → y² - y + 0 E-) Operações com Polinômios: 1-) Adição de Polinômios. A Adição de dois ou mais Polinômios é feita escrevendo-se um Polinômio após o outro, e conservando-se o sinal de cada termo. Em seguida, fazemos a redução dos termos semelhantes, caso existam. Ex.: a-) ( 4x² - 3ax + 12a² ) + ( 6x² + 5ax - 4a² ) = = 4x² - 3ax + 12a² + 6x² + 5ax - 4a² = → Eliminamos os ( ). = 4x2 + 6x2 - 3ax + 5ax + 12a2 - 4a2 = → Agrupamos os termos semelhantes. = 10x2 + 2ax + 8a2 → Reduzimos os termos semelhantes. b-) Dados os Polinômios: A = x² + 2xy + y² B = x² - y² C = 4xy + 6y² Determine o valor de A + B + C = = ( x² + 2xy + y² ) + (x² - y² ) + ( 4xy + 6y2 ) = = x² + 2xy + y² + x² - y² + 4xy + 6y2 = → Eliminamos os ( ). = x2 + x2 + 2xy + 4xy + y2 - y2 + 6y2 = → Agrupamos os termos semelhantes. = 2x2 + 6xy + 6y2 → Reduzimos os termos semelhantes. A soma de dois ou mais Polinômios também pode ser obtida através de um D.P. (Dispositivo Prático), que consiste em escrever os Polinômios um abaixo do outro, colocando-se os termos semelhantes em uma mesma coluna para, em seguida, efetuarmos sua Adição Algébrica. Veja como ficam os 2 exemplos anteriores resolvidos através do processo D.P. a-) ( 4x² - 3ax + 12a² ) + ( 6x² + 5ax - 4a² ) 4x² - 3ax + 12a² 6x² + 5ax - 4a² 10x2 + 2ax + 8a2 b-) A → x2 + 2xy + y2 B → x2 - y2 C → + 4xy + 6y2 2x2 + 6xy + 6y2 Dados os Polinômios: A= x² + 2xy + y² B= x² - y² C= 4xy + 6y² Observações.: Polinômios Opostos ou Simétricos: Foram dados os seguintes Polinômios: A = x² - 7x + 12 e B = - x² + 7x - 12 O que ocorrerá ao efetuarmos a adição entre eles? x² - 7x + 12 -x² + 7x - 12 0x2 + 0x + 0 - Obtivemos um Polinômio Nulo, pois todos os seus coeficientes são iguais a Zero. - Polinômios como estes, que adicionados resultam no Polinômio Nulo, são chamados de Polinômios Opostos ou Simétricos. - Notamos que, para obtermos o oposto de um certo Polinômio não - nulo, basta que troquemos os sinais de todos ou seus termos. Ex.: O oposto de: 4x + 3y - 2xy é → -4x - 3y + 2xy 2-) Subtração de Polinômios: A subtração de 2 polinômios é feita adicionando- se o 1º polinômio ao oposto do 2º. Ex.: a-) ( 5x² - 3x + 12 ) - ( 7x² - 4x + 15 ) = = 5x² - 3x + 12 + ( -7x² + 4x - 15 ) = = 5x² - 3x + 12 - 7x² + 4x - 15 = → Eliminamos os ( ). = 5x2 - 7x2 - 3x + 4x + 12 - 5 = → Agrupamos os termos semelhantes. = -2x2 + x - 3 Utilizando o D.P. 5x² - 3x + 12 -7x² + 4x - 15 -2x2 + x - 3 → Notamos que os sinais de todos os termos foram trocados. b-) Dados os Polinômios: A = x² - 14x + 9 B = x³ - 7x - 15 C = 5x³ - 15x² + 8x Calcule: A + B - C A → x2 - 14x + 9 B → x3 - 7x - 15 -C → - 5x3 + 15x2 - 8x_______ A + B - C → -4x3 + 16x2 - 29x - 6 Diferença de Polinômios: Denominamos Diferença de 2 Polinômios ao Polinômio, que obtemos somando o 1º com o oposto do 2º. Qual é o Polinômio que adicionado a B = 2x + 3y + 5 dá como resultado o Polinômio A = 10x + 9y + 8 ? Precisamos obter um Polinômio C que torne verdadeiro C + B = A Este Polinômio C é denominado de Diferença entre A e B, e podemos indicá-lo C = A - B Conferimos que, somando C com B, vamos obter A. A diferença pois, de 2 Polinômios é o Polinômio que, adicionado ao 2º, dá como resultado o 1º. Então: C = A - B C = ( 10x + 9y + 8 ) - ( 2x + 3y + 5 ) C = 10x + 9y + 8 - 2x - 3y - 5 → Eliminamos os ( ). C = 10x - 2x + 9y - 3y + 8 - 5 → Agrupamos os termos semelhantes. C = 8x + 6y + 3 Conferimos que, somando C com B, vamos obter A. A diferença pois, de 2 Polinômios é o Polinômio que, adicionado ao 2º, dá como resultado o 1º. Ex.: Calcule A - B sabendo-se que: A = 3x² + 4x -1 e B= x² - 7x + 8 A - B = ( 3x² + 4x - 1 ) - ( x2 - 7x + 8 ) A - B = 3x² + 4x - 1 - x2 + 7x - 8 → Eliminamos os ( ). A - B = 3x2 - x2 + 4x + 7x - 1 - 8 → Agrupamos os termos semelhantes. A - B = 2x2 + 11x - 9 Usando o D.P., temos: A → 3x2 + 4x - 1 -B → -x2 + 7x - 8 A - B → 2x2 + 11x - 9 → c. q. d. Observamos que foram trocados todos os sinais do termo B. 1-) Multiplicação de Polinômios: Para multiplicarmos 2 Polinômios, multiplicamos cada termo de um deles por todos os termos do outro, e adicionamos os resultados. O Polinômio obtido é denominado: produto dos Polinômios dados. 1º Caso: Multiplicação de um Monômio por um Polinômio: Para que possamos multiplicar um Monômio por um Polinômio, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica, ou seja, multiplicamos cada termo do Polinômio pelo Monômio e somamos, algebricamente os resultados obtidos. a-) 3x . ( 4x² + 7x - 15 ) = 12x3 + 21x2 - 45x → Aplicamos a propriedade distributiva. b-) ( - 5x² y ) . ( ax + 2by - 6c ) = - 5ax3y - 10bx2y2 + 30cx2y → Aplicamos a propriedade distributiva. Obs.: O produto de um Monômio por um Polinômio também pode ser obtido por meio do D.P. ( Dispositivo Prático ). Vejamos como ficam resolvidos os 2 exercícios acima. Ex.: a-) 3x . ( 4x² + 7x - 15 ) = 4x² + 7x - 15 . 3x 12x3 + 21x2 - 45x b-) ( -5x²y ) . ( ax + 2by - 6c ) = ax + 2by - 6c . - 5x2y_____ - 5ax3y - 10bx2y2 + 30cx2y 2º Caso: Multiplicação de um Polinômio por um Polinômio: Para que possamos multiplicar um Polinômio por outro, multiplicamos cada termo de um deles por todos os termos do outro, somando, algebricamente, os produtos obtidos e reduzindo, em seguida, os termos semelhantes, desde que sejam possíveis. Ex.: a-) ( 2a + 6 ) . ( 5a - 3 ) = ( 2a + 6) . ( 5a - 3 ) = = 10a2 - 6a + 30a - 18 = = 10a2 + 24a - 18 ou apliquemos o D. P. 2a + 6 5a - 3 10a2 + 30a - 6a - 18 10a2 + 24a - 18 → c. q. d. Resolva pela propriedade distributiva ou aplique o D.P. b-) ( 3x + 4 ) . ( 5x² - 12x - 6 ) = ( 3x + 4 ) . ( 5x2 - 12x - 6 ) = = 15x3 - 36x2 - 18x + 20x2 - 48x - 24 = = 15x3 - 36x2 + 20x2 - 18x - 48x - 24 = = 15x3 - 16x2 - 66x - 24 ou apliquemos o D. P. D.P. 5x2 - 12x - 6 . 3x + 4_______ 15x3 - 36x2 - 18x + 20x2 - 48x - 24____ 15x3 - 16x2 - 66x - 24 → c. q. d. 3º Caso: Multiplicação de três ou mais Polinômios: Para que possamos multiplicar 3 ou + Polinômios, devemos multiplicar os “ 2 ’’ primeiros, e depois multiplicarmos o resultado pelo 3º, e assim, sucessivamente. Ex.: ( x + 2 ) . ( x + 1 ) . ( 2x - 1 ) = ( x + 2 ) . ( x + 1 ) . ( 2x - 1 ) = = ( x2 + x + 2x + 2 ) . ( 2x - 1 ) = = ( x2 + 3x + 2 ) . ( 2x - 1 ) = = 2x3 + 6x2 + 4x - x2 - 3x - 2 = = 2x3 + 5x2 + x - 2 → ou também podemos usar o D.P. ( 1º com o 2º ) ( o resultado com o 3º ) x + 2 x2 + 3x + 2 x + 1 . 2x - 1 x2 + 2x 2x3 + 6x2 + 4x + x + 2 - x2 - 3x - 2 x2 + 3x + 2 2x3 + 5x2 + x - 2 → c. q. d. Mais explicações: http://www.algosobre.com.br/matematica/polinomios-e-equacoes-algebricas.html 1-) DIVISÃO DE POLINÔMIOS: Para que realizemos a divisão de Polinômios basta que dividamos os seus coeficientes entre si, e as partes literais também. 1º Caso: Divisão de Monômio por Monômio: Ex.: a-) ( 16x² ) : 4 = 16x2 = 4x2 4 b-) 9x³ : 3x = 9x3 = 9x3 : 3x = 3x3 : x = 3x3 - 1 = 3x2 3x c-) -12x4y² : 8x²y² = -12x4y2 = -3x2 8x2y2 2 2º Caso: Divisão de um Polinômio por um Monômio: Para que dividamos um Polinômio por um Monômio não – nulo, é necessário, que dividamos cada termo do Polinômio pelo Monômio e, em seguida, somarmos, algebricamente, os quocientes obtidos. Ex.: a-) ( 15x³ - 18x² + 6x ) : 3x = = ( 15x³ - 18x² + 6x ) : 3x = = 5x2 - 6x + 2 : 3x b-) ( 25a³x² + 18a4x³ - 15a²x ) : ( 5ax ) = Vamos 1º, colocar na ordem decrescente da variável a. ( 18a4x3 + 25a3x2 - 15a2x ) : ( 5ax ) = = 18a3x2 + 5a2x - 3a 3º Caso: Divisão de Polinômios por Polinômios : Antes de iniciarmos a divisão de um Polinômio por outro, relembremos a propriedade fundamental da divisão: ou Dividendo = Quociente . Divisor + Resto Obs .: Não devemos esquecer de que o resto é sempre um № não negativo e menor que o divisor. Ex.: 25 | 3 ou 25 = 8 . 3 + 1 1 8 25 = 24 + 1 25 = 25 ( V ) Ex.: a-) ( 6x³ - 5 + 34x - 24x² ) : ( 2x - 4 ) = Em 1º lugar, devemos ordenar o Polinômio que está incompleto segundo as potências decrescentes da variável x, colocando-o na Fórmula Geral: 6x3 - 24x2 + 34x - 5 : ( 2x - 4 ) = 6x3 - 24x2 + 34x - 5 | 2x - 4 -6x3 + 12x2___________ 3x2 - 6x + 5 0 - 12x2 + 34x - 5 + 12x2 - 24x_____ 0 + 10x - 5 - 10x + 20 0 + 15 → ( grau do resto é menor que o grau do divisor ) Logo: Q = 3x2 - 6x + 5 R = 15 Concluíndo.: Dividir um Polinômio por outro Polinômio significa encontrarmos: o Quociente → Q e o Resto → R b-) ( 12x5 - 30 - 35x³ + 25x + 18x² ) : ( 3x² - 5 ) = Neste exemplo: tanto o Dividendo quanto o Divisor são Polinômios Incompletos. Para que efetuemos esta Divisão, temos que colocá-los na Fórmula Geral, ou seja, Dividendo sendo um Polinômio completo e o Divisor também sendo um Polinômio completo. ( 12x5 - 30 - 35x³ + 25x + 18x² ) : ( 3x² - 5 ) = Dividendo na Fórmula Geral = 12x5 + 0x4 - 35x3 + 18x2 + 25x - 30 → Ordem decrescente da variável x5. Divisor na Fórmula Geral = 3x2 + 0x - 5 → Ordem decrescente da variável x2. 12x5 + 0x4 - 35x3 + 18x2 + 25x - 30 | 3x2 + 0x - 5 -12x5 - 0x4 + 20x3 4x3 - 5x + 6 0 0 - 15x3 + 18x2 + 25x - 30 + 15x3 + 0x2 - 25x______ 0 + 18x2 + 0x - 30 - 18x2 + 0x + 30 0 Logo: Q = 4x³ - 5x + 6 R = 0 Neste exemplo, o Resto é Nulo. Então, concluímos que o Quociente é exato e que a Divisão também é exata. O Polinômio Dividendo é divisível pelo Polinômio Divisor. Mais exemplos: http://www.brasilescola.com/matematica/divisao-de-polinomios.htm Exercícios Complementares sobre Polinômios: 1º - Sobre Multiplicações de Polinômios resolva: ( x - 3 ) . ( x + 3 ) . ( x2 + 9 ) = 2º - Calcule: ( 3x - 1 / 2 ) . ( x2 + 4 ) = 3º - Calcule A . B utilizando o D.P. ( Dispositivo Prático ) sabendo-se que: A = 3x - 1 e B = x2 + 4x + 8 4º - Resolva a seguinte expressão abaixo: 2 / 3 . ( x - 1 / 4 ) - 3 / 5 . ( x / 2 - 1 ) + x - 1 = 5º - Calcule os seguintes produtos: ( 2x - 3 ) . ( x2 - 3x + 5 ) = 6º - Resolva a seguinte expressão algébrica: ( x - 2 ) . ( 16 + 8x + 4x2 + 2x3 + x4 ) + 32 = 7º - Sobre Divisão de Polinômios, calcule: ( 9x6 - 12x5 + 18x3 - x2 ) : ( 3x2 ) = 8º - Dê o quociente e o resto da divisão, A : B sabendo-se que: A = 8x2 + 6x + 5 e B = 2x + 1 9º - Qual é o Polinômio que, dividido por B = 3x2 + 4x - 1, dá como quociente Q = x + 1 e como resto R = - 3x + 1 ? 10º - Quais dos Polinômios abaixo são divisíveis por 5x + 1 ? a-) 15x2 - 17x - 4 b-) 5x3 - 4x2 + 4x + 1 c-) 125x4 - 100x3 - 30x2 + 4x + 1 Gabarito dos Exercícios Complementares: 1º-) x4 - 81 ou ( x - 3 ) . ( x + 3 ) . ( x2 + 9 ) 2º-) 3x3 - 1 / 2x2 + 12x - 2 3º-) 3x3 + 11x2 + 20x - 8 4º-) 41x / 30 - 17 / 30 5º-) 2x3 - 9x2 + 19x - 15 6º-) x5 7º-) 3x4 - 4x3 + 6x - 1 / 3 8º-) Q = 4x + 1 e R = 4 9º-) 3x3 + 7x2 10º-) Resp.: Todos eles. a-) Q = 3x - 4 e R = Zero b-) Q = x2 - x + 1 e R = Zero c-) Q = 25x3 - 25x2 - x + 1 e R = Zero

Agradecimentos

Nós ADM's do blog fazemos um agradecimento ao nosso professor de matemática Luiz Carlos pela ideia do blog e por nos ensinar as que coisas q postamos!!!

EXPLICAÇAOZINHA FORA DE SERIE !

Exemplo de um método usado para dividir polinômios.

Video explicativo

 Neste vídeo é apresentado alguns métodos de operações com polinômios.

> Recomendamos para assistir para aprendizagem sobre adição com polinômios.
*Link:  https://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=8AJ7wjzpMRU

Assistam, nós recomendamos!!!

Bem Vindo

Olá, se você tem dificuldade em alguns assuntos de matemática, esse blog vai tirar suas dúvidas.

Este blog foi criado há pouco tempo ainda estamos trabalhando nas postagens, mas começaremos com o assunto de Monômios e Polinômios.

Visite-nos sempre!!!

MONÔMIOS E POLINÔMIOS

Um monômio é uma expressão algébrica em que há apenas multiplicações representadas por numerais e letras. Essas letras devem ser sempre expressas na forma de potência com expoentes naturais, eles possuem o coeficiente que corresponde a parte numérica e a parte literal corresponde às variáveis.

Assim como na expressão ao lado, 2ab²,8ab² são exemplo de monômios.

O grau de um monômio coeficiente não nulo é a soma dos expoentes das variáveis.

EX:

-3a²b³c¹= 6º grau pois 2+3+1=6

Os monômios semelhantes são aqueles que contém a mesma parte literal: os monômios 4x³z²y, 8x³z²y são semelhantes, pois possuem a mesma parte literal:x³z²y.

Adição algébrica de monômios:

Ex: (5c²m³)+(9c²m³)=14c²m³

  
A adição de monômios é feita somando-se algebricamente os coeficientes e mantendo-se a parte literal.

Multiplicação de monômios:



Para efetuar a multiplicação de monômios, multiplica-se coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal, e quando há potencia se conserva a base soma os expoentes.


Divisão de monômios:

Na divisão o processo de divisão das potência é o inverso da multiplicação, mantém se as bases mas se subtrai os expoentes,e sempre dividindo coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal.

OBRIGADO AOS QUE GOSTAREM, E QUALQUER DÚVIDA É SÓ COMENTAR.

            

Subtração de Polinômios

> Em relação a subtração de polinômios, podemos perceber que os exemplos abaixo estão em parenteses e para resolve-los é muito prático e fácil, primeiro você tira os números do primeiro parênteses e como o sinal da conta é  ( -), todos os números do 2ª parênteses trocam de sinal, ou seja, aquele que era +8 para para -8 e assim por diante invertendo os números pelo sinal oposto ao que se situam. Depois vêm o 2º passo, que é juntar os termos semelhantes, ou seja, juntado todos os números que contenham a mesma parte literal.
 Ex: (+8-2x)-(+5+4x).
        +8-2x-5-4x
Resultado: +3-6x.

Primeira postagem

Olá, este blog foi criado por 4 estudantes do 8º ano que querem compartilhar com outros alunos os assuntos que aprendemos durante o ano, e com isso temos o objetivo de ajudar aquelas pessoas que tem dificuldade em certos assuntos de matemática, criamos faz pouco tempo, mas estamos trabalhando para fazer as postagens. Agradecemos aos visitantes do blog e se gostarem, compartilhem!